جبر به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز ریاضی یکی از وسیع‌ترین بخش‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین فرم آن مطالعه نشانه‌های ریاضی و قوانین برای تغییر این نشانه‌هاست؛ جبر رشته‌ای وحدت‌یافته از تقریباً تمام ریاضیات است. همینطور جبر شامل همه چیز از حل معادلات ابتدایی تا ریاضیات انتزاعاتی همچون گروه، حلقه‌ها، و میدان می‌باشد. به اولیه‌ترین بخش‌های جبر، جبر مقدماتی گفته می‌شود؛ انتزاعی‌ترین بخش‌های آن جبر انتزاعی یا جبر مدرن است. از جبر مقدماتی به عنوان اساس هرگونه مطالعه ریاضیات، علم و مهندسی، اقتصاد و پزشکی نگریسته می‌شود.

جبر مقدماتی با حساب فرق دارد در استفاده از انتزاعات، همچون استعمال حروف که بجای اعدادی که نامشخص هستند یا بجای بسیاری از مقادیر می‌نشینند. به بیانی دیگر در جبر از نشانه‌ها و معادلات برای نشان دادن ارتباط بین مفاهیم جبری استفاده می‌کنند. متغیرها و ثابت‌های مختلفی در روابط جبری وارد می‌شود و طبق اصول خاصی که برای هر کدام از انواع این معادلات مقرر شده مقادیر متغیرها به دست می‌آید. می‌توان جبر را تعمیم و تجریدی از حساب دانست که در آن بر خلاف حساب عملیاتی مانند جمع و ضرب نه بر اعداد بلکه بر نمادها انجام می‌گیرد. جبر در کنار آنالیز و هندسه یکی از سه شاخه اصلی ریاضیات است. علم جبر نخستین بار از مشرق‌زمین شروع شد و دانشمندانی چون خوارزمی و غیاث‌الدین جمشید کاشانی در این علم تأثیرگذار بودند.

در ریاضیات، نظریه گالوا ارتباطی بین نظریه میدان ها و نظریه گروه ها ایجاد می کند. با استفاده از نظریه گالوا، برخی از مسائل نظریه میدان ها را می توان به مسائل نظریه گروه ها تقلیل داد، که از جنبه هایی ساده تر بوده و بهتر فهمیده می شود. همچنین با استفاده از آن برخی مسائل کلاسیک باستانی لاینحل، حل شدند: مثل مسئله تضعیف مکعب، تثلیث زاویه (مسئله سوم باستانی، یعنی تربیع دایره هم حل‌ناپذیر است، اما حل‌ناپذیری اش توسط روش های دیگری نشان داده شده)، نشان دادن این که هیچ فرمولی برای ریشه های چند‌جمله ای های درجه پنج وجود ندارد و نشان دادن این که کدام چندضلعی ها ساختنی هستند.

این موضوع ریاضیاتی به افتخار اواریست گالوا که ریشه ها را برای مطالعه چندجمله‌ای ها معرفی کرد نامگذاری شد. او چندجمله ای هایی که حل‌پذیر با رادیکال‌ها هستند را براساس خواص گروه جایگشت‌های ریشه هایشان مشخصه سازی کرد، یک چند جمله ای توسط رادیکال ها حلپذیر است اگر ریشه هایش را بتوان توسط فرمول‌هایی شامل اعداد صحیح، ریشه های nام و چهار عمل پایه ای حساب بیان کرد.

این نظریه توسط ریچارد ددکیند، لئوپولد کرونکر، امیل آرتین و دیگرانی که به طور خاص گروه جایگشت ریشه ها را به صورت گروه خودریختی های یک توسیع میدانی توصیف کردند، در میان ریاضیدانان معروف شده و توسعه پیدا کرد.

نظریه گالوا به اتصالات گالوایی و نظریه گالوای گروتندیک تعمیم یافته است.

فهرست مطالب:

توسیع میدان ها

توسيعهاي ساده

نمادگذاري

توسيع متناهياً توليد شده

عناصر جبري

توسیع متعالی

بعد

چندجمله اي مينيمال

ويژگي توسيعي براي توسيع هاي ساده

توسيع هاي جبري

قضيه برج

ميدان اعداد جبري

بستار جبری

ميدانهاي شکافنده و توسيعهاي نرمال

قضيه توسيع براي ميدانهاي شکافنده

يکتايي ميدانهاي شکافنده

ریشه چندگانه

بستار نرمال

و...